Lehre

BSc (9 ECTS)

Die numerische Mathematik ist von zentraler Bedeutung für zahlreiche Anwendungsgebiete der Mathematik. In dieser Veranstaltung werden u.a. folgende grundlegende numerische Probleme betrachtet:

• Lösen von linearen und nichtlinearen Gleichungssystemen,
• Interpolation und Approximation,
• Numerische Quadratur.

Als zugehörige mathematische Begriffe werden die Kondition eines numerischen Problems, sowie die Approximationsgenauigkeit, der Rechenaufwand und die Stabilität von Algorithmen behandelt.

Die Veranstaltung wird im Inverted Classroom-Format durchgeführt. Die Vorlesungsvideos werden durch Quizze und Fragestunden, eine theoretische Übung sowie eine Programmierübung begleitet.

4+2 SWS / 8 ECTS, M. Sc.

In dieser Vorlesung geht es insbesondere um die Betrachtung von Funktionen als Elemente von geeigneten normierten Vektorräumen, womit sich Problemen der Analysis nun auch Werkzeuge der linearen Algebra eröffnen. Damit bildet die Funktionalanalysis einen allgemeinen Ansatz zur Behandlung von (partiellen) Differentialgleichungen, Optimierungsproblemen und Approximationen und steht als Fundament der fortgeschrittenen Stochastik und numerischen Mathematik im Herzen der Mathematik.

In dieser Einführung werden die klassischen Ergebnisse und Methoden behandelt. Die wesentlichen Themen sind:

• Normierte und metrische Räume, Banachräume
• lineare Operatoren, Integraloperatoren
• Hahn-Banach Sätze, Dualität
• Hauptsätze für lineare Operatoren (v.a. Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit, Satz vom inversen Operator)
• Kompaktheit und kompakte Operatoren
• L^p Räume, Hilberträume
• Fredholm-Alternative und Spektralsatz
• Reflexivität und schwache Konvergenz

Die Veranstaltung besteht aus einer 4std Vorlesung und einer 2std Übung. Analysis I, II und Lineare Algebra werden vorausgesetzt.

2+1 SWS / 6 ECTS, B. Sc.

Monte Carlo Methoden sind Algorithmen, die Zufallszahlen benutzen und vielfältige Anwendungen finden, sei es in der Simulation komplexer stochastischer Systeme oder in der numerischen Behandlung hoch-dimensionaler deterministischer Probleme. Die Vorlesung besteht aus folgenden Themenblöcken:

• Pseudozufallszahlen
• Simulation von Realisierungen von Zufallsvariablen
• Monte Carlo Quadratur
• Konvergenz und Konvergenzrate von Monte Carlo Schätzern
• Varianzreduktionsmethoden
• Vergleich deterministische und randomisierte Algorithmen

Die Veranstaltung besteht aus einer 2std Vorlesung und einer 1std Übung mit theoretischen und praktischen Aufgaben.

MSc (6 ECTS)

Diese Vorlesung widmet sich zahlentheoretischen Methoden der numerischen Integration. Folgende Themen werden behandelt:

•  Gleichverteilung modulo Eins,
• Diskrepanz und Koksma-Hlawka-Ungleichung,
• Klassische Niederdiskrepanzfolgen,
•  Gitter und Netze,
• Quasi-Monte Carlo Integration,
• Anwendungen in der Finanzmathematik.

Die Vorlesung besteht aus einer 2std Präsenzvorlesung und einer 2std Präsenzübung.

2+2 SWS / 6 ECTS, nur M. Sc.                                                                          

In dieser Vorlesung wird die Numerik stochastischer Differentialgleichungen (SDGLn) behandelt. Besonderer Fokus liegt dabei auf der Berechnung der Erwartungswerte von Funktionalen der Lösung -- dies ist besonders für Anwendungen in der Finanzmathematik von Interesse. Die Vorlesung besteht aus vier Themenblöcken:

• Brownsche Bewegung und Multi-level Monte Carlo für Brownsche Funktionale,
• SDGLn mit additiven Rauschen und Diskretisierung der Wong-Zakai Approximation,
• Itô-Theorie stochastischer Differentialgleichungen,
• Numerische Verfahren für allgemeine stochastische Differentialgleichungen.

Die Veranstaltung besteht aus einer 2std Vorlesung und einer 2std Übung mit theoretischen Problemen und Programmierufgaben. Vorkenntnisse im Bereich stochastischer Prozesse sowie der Theorie und Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen sind wünschenswert.

MSc (6 ECTS)

Diese Veranstaltung gibt einen problemorientierten Überblick über numerische Verfahren der Optionsbewertung in Standardmodellen (Black-Scholes-, Binomial-, und Heston-Modell). Im Vordergrund stehen die Eigenschaften sowie die Implementierung der verwendeten Verfahren. Behandelt werden:

• finite Differenzen,
• (Quasi-) Monte Carlo Verfahren,
• Baummodelle.

Die Veranstaltung wird im Inverted Classroom-Format durchgeführt. Die Vorlesungs­videos werden durch Quizze und Fragestunden sowie eine Übung mit theoretischen und praktischen Aufgaben begleitet.

Vorkenntnisse in Finanzmathematik sind notwendig.

4+2 SWS / 8 ECTS, M. Sc.

In dieser Vorlesung behandeln wir die Mathematik bei Klimamodellen mit einem besonderen Augenmerk auf Elemente der Numerik und Stochastik. Wir beginnen bei physikalischen Grundlagen und Begriffen aus der Klimatologie und Meteorologie sowie bei relevann Strahlungsgesetzen.

Die Untersuchung und Klassifikation der Klimamodelle erfolgt mitsamt einer kurze Einführung in dynamische und chaotische Systeme und deren Numerik. Unter den betrachteten Modellen sind die Themen Energiebilanzmodelle, ozeanische Strömungen sowie Eiszeiten.

Im zweiten Teil der Vorlesung betrachten wir stochastische Klimamodelle, basierend auf stochastischen Differentialgleichungen und behandeln damit Modelle für Eiszeiten, das Phänomen der stochastischen Resonanz sowie fraktionale Modelle.

Die Vorlesung besteht unter anderem aus den Themenblöcken:

• Klimasystem und Klimakomponenten
• Strahlungsprozesse und Energiebilanzmodelle
• Dynamische Systeme und chaotisches Verhalten
• Boxmodelle und ozeanische Zirkulationen
• Stochastische Klimamodelle
• Anwendungen von Numerik für ODEs und Numerik für SDEs
• Stochastische Resonanz
• Fraktionale Modell und Long-range dependence

Die Veranstaltung besteht aus einer 4std Vorlesung und einer 2std Übung. Kenntnisse in Numerik und Stochastik werden vorausgesetzt.

4+2 SWS / 8 ECTS, B.Sc. (WiMa) + B.Ed./M.Ed. (Lehramt)

In dieser Vorlesung geht es um Lösungsstrategien für mathematische Probleme. Den Begriff Heuristik (altgr. auffinden, entdecken) verwenden wir hierbei auf mehrere Arten:

• Heuristiken: Ideen zur Lösung von Aufgaben, Lösungfindungsansätze
• heuristische Rekonstruktionen von Lösungen
• heuristisch: 'nicht vom Himmel gefallen'
• Heuristik: Interpretation und Verstehen der Aussage

Neben einer Einführung in die Grundtechniken (Abzählen/Kombinatorik, Extremalprinizip, Schubfachprinzip, Invarianzprinzip, Problem variieren/verallgemeinern/spezialisieren) betrachten und vertiefen wir insbesondere Themen aus der Analysis und Stochastik.

Die Vorlesung besteht aus den Themenblöcken:

• Heuristische Grundtechniken
• Wichtige Approximationen in Analysis und Stochastik (mit verschiedenen Beweismethoden)
• Fixpunktsätze und Existenzsätze
• Wichtige Ungleichungen in Analysis und Stochastik

Die Veranstaltung besteht aus einer 4stündigen Vorlesung und einer 2stündigen Übung. Die Vorlesungen Analysis I+II und Stochastik werden vorausgesetzt.

BSc (3 ECTS)

Dieses Seminar wird gemeinsam mit den Lehrstühlen für Wissenschaftliches Rechnen und Optimierung angeboten und ist verpflichtend für die Absolventen der Lehrstühle.

MSc (4 ECTS)

In diesem Seminar werden ausgewählte Themen der stochastischen Numerik behandelt.

2 SWS / 3 ECTS, B. Sc. (WiMa/Lehramt/WiPäd) bzw. 4 ECTS, M. Sc.

In diesem Service Learning-Seminar, das jedes Semester angeboten wird, werden Projekte mit Schulen (Förderkurse, Workshops, Enrichment-Angebote im Unterricht, Mathe-AGs) betreut. Hierbei werden auch insbesondere mathematische Themen zwischen Schule und Universität behandelt, die mitunter auch anspruchsvoll ausfallen können, siehe aktuelle Themen der Uni Mathe-AG.

Im Seminar werden zudem kleine und, sofern möglich, passende Themen der Mathematik behandelt, wie z.B. Heuristik und Beweisideen, Historie der Analysis oder interessante/elegante Themen und Beweise der Grundlagenfächer Analysis, Lineare Algebra, Stochastik und Numerik. Die Ausarbeitung eines solchen Themas ergibt die Prüfungsleitung.