Seminar Zahlen

Dr. Thomas Reichelt

Das Seminar wird ausgewählte Kapitel aus dem folgenden Buch behandeln:

H.-D. Ebbinghaus: Zahlen. Berlin, Springer 2013 (oder ältere Auflagen).

Inhalt: Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Zahlbereich der reellen Zahlen zu erweitern. Die wichtigste davon ist die Erweiterung zu den komplexen Zahlen C. Doch auch andere sind möglich, wobei sich nicht alle Eigenschaften von C erhalten lassen. Wenn man gewisse grundlegende Eigenschaften erhalten möchte (z.B. die eindeutige Möglichkeit einer Division (Divisions-Algebren)) stellt sich heraus, dass man, bis auf die komplexen Zahlen, nur zwei Erweiterungen hat, nämlich die Quaternionen und die Oktaven. Das Seminar folgt dem Buch “Zahlen” von Ebbinghaus et al. Es behandelt die komplexen Zahlen und den Fundamentalsatz der Algebra. Auch die Zahl Pi wird in diesem Zusammenhang betrachtet. Weiter werden die Erweiterungen zu den Quaternionen und Oktaven (auch Cayley-Zahlen) genau beschrieben und verschiedene einfache Eindeutigkeitssätze vorgestellt, insbesondere der Satz von Frobenius und der Satz von Hopf. Zum Schluss werden noch die Kompositionsalgeben behandelt, die eng verwandt sind mit den Divisions-Algebren und die interessante Anwendungen in der Zahlentheorie und Geometrie haben. Ein interessanter Aspekt ist, dass sich einige der algebraischen Aussagen nur mit analytischen und topologischen Hilfsmitteln beweisen lassen. Das tritt schon beim Fundamentalsatz der Algebra auf und stärker noch beim Satz von Hopf, der einen Vorgeschmack gibt auf den Beweis der Einzigkeit der Divisions-Algebren, der im letzten Kapitel des Buches beschrieben wird. Der letzte Vortrag soll sich mit der Erweiterung der rellen Zahlen zu Non-Standard Zahlen beschäftigen, in denen es unendlich kleine und unendlich große Zahlen gibt.

Die Themen sind:

  • 1. Vortrag: Komplexe Zahlen I Definition, geometrische Darstellung, Konjugation, Automorphismen, Zwei-Quadrate-Satz, Polarkoordinaten, n-te Wurzeln, (Kapitel 3.2, 3.3 und 3.6, S. 53 – 63, 73 – 78 )
  • 2. Vortrag: Komplexe Zahlen II Geometrische Eigenschaften: Doppelverhältnis, Satz des Ptolemäus, Wallace-Gerade, Gruppen O(2) und SO(2) (Kapitel 3.4 und 3.5, S. 64 – 73)
  • 3. Vortrag: Fundamentalsatz der Algebra Beweise von Argand und Laplace, Anwendung auf Polynomfaktorisierung, Einzigkeitssatz für C (Kapitel 4.2 und 4.3 mit Anhang, S.90-99)
  • 4. Vortrag: Die Zahl π, Teil I Exponentialabbildung, Definition und Charakterisierung von π (Kapitel 5.2 und 5.3, S. 106 – 116)
  • 5. Vortrag: Die Zahl π, Teil II Formeln für Pi, Irrationalität, Kettenbrüche (Kapitel 5.4, S. 116 – 123)
  • 6. Vortrag: Die Quaternionen, Teil I Grundbegriffe aus der Theorie der Algebren, Definition, Eigenschaften, Beschreibung der Quaternionen, der Vier-Quadrate-Satz (Kapitel 7.1 und 7.2, S. 158 -173 )
  • 7.Vortrag: Die Quaternionen, Teil II Die Gruppe S 3 , die Gruppen O(3), O(4) und die Quaternionen, der Satz von Hamilton (Kapitel 7.2 und 7.3, S.173 – 181)
  • 8. Vortrag: Der Satz von Frobenius Hamiltonsche Tripel, der Satz von Frobenius Formulierung und Beweise (Kapitel 8.1 und 8.2, S. 184 -189)
  • 9. Vortrag: Der Satz von Hopf Topologisierung reeller Algebren, das Lemma von Hopf, der Satz von Hopf, Formulierung und Beweis (Kapitel 8.3, S. 190 – 196)
  • 10. Vortrag: Die Oktaven (Cayley Zahlen) Quadratische Algebren, Existenz und Eigenschaften der Oktaven, der Acht-Quadrate Satz, die Einzigkeit der Cayley-Algebra (Kapitel 9.1 -9.3, S. 205 -218)
  • 11. Vortrag: Kompositionsalgebren und der Satz von Hurwitz Definition und Eigenschaften von Kompositionsalgebren, der Satz von Hurwitz, Vektorprodukt-Algebren, (Kapitel 10.1 – 10.3, S. 219 – 230)
  • 12. Vortrag: Divisionsalgebren und Topologie Satz von Hopf, Homologie und Kohomologie, (Kapitel 11.1, S. 233 – 241)
  • 13. Vortrag: Non-Standard Zahlen, (Kapitel 12.1-12.3, S.255 -269)

 

Das Seminar findet freitags 13:45–15:15 Uhr in C 012 Hörsaal A 5, 6 statt (oder Corona bedingt per Zoom). Die Anzahl der Sitzungen wird von der Teilnehmerzahl abhängen.

Das Seminar richtet sich vornehmlich an Lehramtsstudenten der Mathematik, aber andere Studenten sind auch willkommen.

Wenn Sie an einem Vortrag interessiert sind, melden Sie sich bitte bei Dr. Thomas Reichelt (reichelt ( at ) math.uni-mannheim.de).