Numerik Partieller Differentialgleichungen (8 ECTS)

für Master Wirtschafts­mathematik

Dozentin Dr. Elisa Iacomini
Übungs­leiter Jan Friedrich

Kurzbeschreibung

In dieser Vorlesung soll neben der Theorie von partiellen Differentialgleichungen besonderes Augenmerk auf deren numerischer Behandlung liegen. Dabei sollen bewährte und auch moderne Diskretierungs­verfahren hergeleitet und untersucht werden. Die verwendeten numerischen Methoden werden auf Finiten Differenzen oder Finiten Volumen Ansätzen beruhen.

Voraussetzungen

Sinnvolle Voraussetzungen sind z.B. die beiden Veranstaltungen „Introduction to PDEs“ (HWS) und „Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen“ (HWS).

Aktuelles

  • Am 27.05.2020 findet eine Online Fragestunde statt.
  • In diesem Semester finden an der Universität Mannheim keine Präsenz­veranstaltungen mehr statt, dies bedeutet aber nicht, dass die Vorlesung bzw. Übung nicht mehr stattfindet. Bis zu den Osterferien wird nun das Prinzip des „Inverted Classroom“ übernommen.
  • Unter Download finden Sie einen genauen Plan der Vorlesung für die nächsten Wochen, in dem die Inhalte für die jeweiligen Wochen detailliert beschrieben werden.
  • Immer montags werden ab sofort neben dem aktuellen Übungs­blatt auch zusätzlich noch Vorlesungs­notizen hochgeladen.  Die Musterlösungen zu den Übungen werden natürlich weiterhin hochgeladen. Auch die Abgabe der Programmieraufgaben wird weiterhin erfolgen. Die Testate finden ab sofort nur noch über Skype statt.
  • Fragen zu der Vorlesung bzw. Übung können per Mail gestellt werden. Auch persönliche Sprechstunden via Skype oder Zoom sind jederzeit möglich.
  • Die Vorlesung wird dieses Jahr auf Englisch gehalten. Die Übung und Unterrichtsmaterialen werden weiterhin auf Deutsch sein.
  • Die erste Vorlesung findet am 11.02.2020 statt.
  • Die erste Übung findet am 20.02.2020 statt.

Vorlesung

  • Di. 13:45 - 15:15 Uhr in B6, A305 (Start: 11.02.2020)
  • Mi. 12:00 - 13:30 Uhr in B6, A204

Übung

  • Do 8:30 - 10:00 Uhr in B6, A204 (Start: 20.02.2020)

Download

Vorlesungs­plan

Datum Skript Thema Vorlesungs­notizen Demo Übung

17.3.

S. 39-42

Schwache Differenzierbarkeit
Soboley Räume (Definition & Eigenschften)
Poincaré Ungleichung

Notizen   Übung 5 (Musterlösung)
Notizen
18.3. S. 43-46 Lax-Milgram-Lemma
Neumann Randbedingungen
Notizen    
24.4. S. 47-50 Ritz-Galerkin-Methode

Notizen

 

Übung 6 (Musterlösung)
Notizen

25.5. S. 51-55 Finite Elemente in 1D & 2D Notizen Finite Elemente  
31.3. S. 56-60 Prabolische Differentialgleichungen
Finite Differenzen in 1D
Notizen   Übung 7 (Musterlösung)
Notizen
01.4. S. 61-65 Finite Differenzen in 1D
Vertikale Linienmethode
Notizen Wärmeleitungs­gleichung in 1D  
21.4. S. 3-7 Beispiele für hyperbolische Erhaltungs­gleichungen
Definition von hyperbolischen Systemen
Notizen   Übung 8 (Musterlösung)
Notizen
22.4. S. 7-11 Existenz und Eindeutigkeit schwacher Lösungen
Methode der Charakteristiken
Rankine-Hugoniot Bedingung
Notizen    
28.4. S. 11-17 Rankine-Hugoniot Bedingung
Lax-Entropie Bedingung
Entropie Lösung
Kruzkov Theorem
Notizen   Übung 9 (Musterlösung)
Notizen
29.4. S. 18-22 Finite Differenzenmethoden für lineare Erhaltungs­gleichungen
Grundlagen und Notationen
Erhaltungs­eigenschaft
Notizen Lineare Advektion  
05.5. S. 22-26 Konsistenz
Modifizierte Gleichung
Numerische Viskosität
Notizen   Übung 10 (Musterlösung)
Notizen
06.5 S. 27-31 CFL Bedingung
Konvergenztheorie für lineare Gleichungen
Lax Theorem
Notizen CFL Bedingung  
12.5 S. 32-35 Numerische Verfahren für nichtlineare Gleichungen Notizen Godunov Übung 11 (Musterlösung)
Notizen
13.5 S. 36-39

Godunov Verfahren: Lösung des Riemann Problems
Linf-Stabilität
TVD Verfahren
Lax-Wendroff Theorem

Notizen    
19.5 S. 39-43

Beweis des Lax-Wendroff Theorems
Beispiele mit bekannten Verfahren

Notizen   Übung 12 (Notizen)
Musterlösung
20.5 S. 43-47 Weitere Verfahrenseigenschaften
Monotone Verfahren
Notizen    
26.5 S. 47-49 Beispiele für monotone Verfahren
e-konsistente Verfahren
Lokales Lax-Friedrichs-Verfahren
Notizen Lokales Lax-Friedrichs Verfahren Übung 13 (Notizen)
Musterlösung
27.5 12:00-13:30 Hyperbolische Differentialgleichungen mit Quellterm
Fragestunde
Notizen    

Skript

Demos

Übungen

Sonstiges

Literatur

Literatur zur Elliptik und Parabolik:

  • G. Dziuk, Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen, De Gruyter, 1. Auflage (2010).
  • C. Großmann, H. G. Roos, Numerik partieller Differentialgleichungen, Vieweg+Teubner Verlag, 2. Auflage (1992).
  • W. Hackbusch, Theorie und Numerik elliptischer Differentialgleichungen, Springer Spektrum, 4. Auflage (2017).

 Literatur zur Hyperbolik:

  • E. Godlewski, P. A. Raviart, Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conservation Laws, Springer-Verlag, 1. Auflage (1996).
  • R. J. Leveque, Numerical Methods for Conservation Laws, Birkhäuser Basel, 2. Auflage (1992).